Афінні перетворення
Афінними називаються лінійні перетворення вигляду x′=Tx(x,y)=a11x+a21y+b1,y′=Ty(x,y)=a21x+a22y+b2, або у матричному записі (x′y′)=(a11a21a21a22)(xy)+(bxby), де матриця A=(a11a21a21a22) є невиродженою. Матриця A називається матрицею повороту, а вектор (b1b2) називається вектором паралельного перенесення.
Афінні перетворення переводять паралельні лінії у паралельні, проте можуть не зберігати відстані і кути. Якщо матриця A ортогональна, тобто A⊤⋅A=E, то відповідне афінне перетворення називається ортогональним. Ортогональні перетворення зберігають відстані та кути.
Афінне перетворення також задається в однорідних координатах (x′y′1)=(a11a21bxa21a22by,001)(xy1). Важливою характеристикою афінного перетворення є те, що воно має обернене. Якщо відомі матриця повороту та вектор паралельного перенесення, то із перетвореного (деформованого) зображення можна відновити оригінальне зображення.
Всі афінні перетворення зводяться до таких базових перетворень: паралельне перенесення, масштабування - стиснення та розширення, зсув, поворот, центральна та осьова симетрії та їхніх композицій.
Паралельне перенесення має вигляд (x′y′)=(xy)+(b1b2). Розтягнення та стиснення вздовж осей Ox та Oy з коефіцієнтами sx i sy (масштaбне перетворення, scaling): (x′y′)=(sx00sy)(xy). (гомотетія з центром в початку координат) При sx=sy отримуємо рівномірне розтягнення та стиснення (uniform scaling).Зсув (shear) вздовж осей x та y з коефіцієнтами bx i by (x′y′)=(1bxby1)(xy). Поворот навколо центру координат на кут θ: (x′y′)=(cosθ−sinθsinθcosθ)(xy). Поворот може бути представлений як композиція трьох скосів (cosθ−sinθsinθcosθ)=(0−tanθ201)⋅(10sinθ1)⋅(0−tanθ201). Поворот навколо довільної точки площини з координатами (xc,yc) на кут θ: (x′y′)=(cosθ−sinθsinθcosθ)(x−xcy−yc)+(xcyc). Симетрії відносно початку координат, осі Ox, Oy і прямої y=x мають такі матриці (100−1),(−1001),(−100−1). Якщо матриця афінного перетворення невідома, то її можна відновити, вказавши три відповідні точки на зображеннях, які мають перейти одна в одну при цьому перетворенні.
Немає коментарів:
Дописати коментар