Проективні перетворення

Розглянемо площину і деяку пряму на ній. Проективною прямою на площині, яка відповідає цій прямій, називається пряма доповнена нескінченно віддаленою точкою, яка називається невласною точкою прямої. За домовленістю, всім паралельним прямим відповідає одна невласна точка. Множина всіх невласних точок, які відповідають різним прямим називається невласною прямою. Множина всіх точок площини разом зі всіма невласними точками називається проективною площиною.

Введемо систему координат на проективній площині. Нехай $M$ -- звичайна точка на площині з афінними координатами $(X,Y)$. Будемо називати трійку чисел $(x_1:x_2:x_3)$, таких що $$ X=\frac{x_1}{x_3}, Y=\frac{x_2}{x_3} $$ однорідними координатами точки $M$ на проективній площині. З означення видно, що проективні координати визначаються неоднозначно, і що, для довільного числа $k \neq 0$, трійка чисел $(k x_1: k x_2: k x_3)$ також буде однорідними координатами точки $M.$ Початок кооординат має однорідні координати $(0:0:1).$

Нехай тепер $M$ невласна точка, і нехай напрямний вектор множини прямих, які визначають $M$, має координати $(x_1,x_2)$. Довільну трійку чисел $k x_1, k x_2, 0$ будемо називати координатами невласної точки і позначати $(x_1:x_2:0)$. Зокрема невласна точка які відповідає координатній осі $Ox$ має координати $(1:0:0).$ Довільна пряма на проективній площині в однорідних координатах має таке рівняння $$ u_1 x_1+u_2 x_2+u_3 x_3=0. $$ Рівняння прямої, яка проходить через дві точки $(a_1:a_2:a_3)$, $(b_1:b_2:b_3)$ має вигляд $$ \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}=0. $$ Проективним перетворенням проективної площини називається перетворення, яке довільні три точки, які лежать на одній прямій, переходять у три точки які також лежать на одній прямій. Проективне перетворення переводить власні точки площини знову у власні точки. Отже, проективне перетворення зберігає відношення належності до прямої, але не зберігає відстані і кути.

Проективне перетворення площини в однорідних координатах $(x: y: w)$ має вигляд $$ \begin{pmatrix} x' \\ y'\\ w' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23},\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\\ w \end{pmatrix}, x=\frac{x'}{w'}, y=\frac{y'}{w'}. $$ Головна теорема проективної геометрії -- для довільних двох невироджених чотирикутників площини існує проективне перетворення, яке відображає один чотирикутник в інший.

Перспективне відображення площин.

Розглянемо дві площини що перетинаються, відповідні їм проективні площини і нехай $S$ -- власна точка простору, яка не належить жодній із площин, $M$ -- точка першої площини. Пряма $SM$ перетинає другу площину у точці $M'$, власній або невласній. Отримали взаємно однозначне відображення двох проективних площин яке називається перспективним.

Якщо зображення зареєстроване під кутом до площини зображення, то отримуємо перспективне спотворення сцени, при якому замість прямокутного зображення області інтересу отримуємо її у вигляді трапеції. Проте, оригінальне зображення можна відновити використавши обернене проективне перетворення за двома парами чотирьох точок.

Приклад корекції зображення проективним перетворення