Моменти та моментні інваріанти

Геометричним моментом напівтонового $M \times N$-зображення $f(x,y)$ порядку $p+q$ називається число $$m_{p,q}=\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} x^p y^q f(x,y).$$ Моменти невеликих порядків мають просту інтерпретацію, наприклад момент нульового порядку $m_{0,0}$ є сумою значень всіх пікселів зображення. Для бінарного зображення $m_{0,0}$ виражає площу об'єктів на цьому зображенні. Центр мас зображення $(x_c,y_c)$ виражається через моменти першого порядку $$x_c=\frac{m_{1,0}}{m_{0,0}}, y_c=\frac{m_{0,1}}{m_{0,0}}.$$

Центральним моментом порядку $p+q$ зображення $f(x,y)$ називається число $$\mu_{p,q}=\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} (x-x_c)^p (y-y_c)^q f(x,y).$$ Головна властивість центральних моментів полягає в тому що вони інваріантні відносно паралельних перенесень.

Нормалізованим центральним моментом порядку $p+q$ зображення $f(x,y)$ називається число

$$\eta_{p,q}=\frac{\mu_{p,q}}{m_{0,0}^{1+\frac{p+q}{2}}}.$$

Нормалізовані моменти інваріантні відносно паралельного перенесення та стиснення i розтягу. Із нормалізованих моментів можна утворювати моменти які додатково будуть інваріантами відносно поворотів. Кілька таких інваріантів $$\begin{align*} &I_1 = \eta_{20} + \eta_{02},\\ &I_2 = (\eta_{20} - \eta_{02})^2 + 4\eta_{11}^2,\\ &I_3 = (\eta_{30} - 3\eta_{12})^2 + (3\eta_{21} - \eta_{03})^2,\\ &I_4 = (\eta_{30} + \eta_{12})^2 + (\eta_{21} + \eta_{03})^2. \end{align*}$$ Моменти та моменті інваріанти є глобальними дескрипторами зображення і мають широке застосування в аналізі зображень та в розпізнаванні образів.

Більше тут.