Перетворення Фур'є зображення

Нагадаємо, що у зображенні $f(x,y)$ змінні $x,y$ називаються просторовими координатами, оскільки є координатами пікселів на дискретній площині.

Перетворенням Фур'є функції $f(x,y)$ називається нова функція $$F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-2i\pi (u x+v y)} dxdy$$ від змінних $u,v$, які називаються частотними змінними а площина $Ouv$ -- частотною областю. Точка $(u,v)$ частотної області кодує елементарну гармоніку $e^{-2i\pi (u x+v y)}$ з інтенсивністю $|F(u,v)|$. Особливістю перетворення є те, що образ періодичної функції є дискретна функція.

В одновимірному випадку для сигналу $x(t) = A \sin(2\pi \omega t)$, параметр $w$ називається частотою сигналу. При переході в частотну область в точці $w$ ми отримаємо функцію, яка рівна нулю у всіх точках крім $\omega.$

Графік одновимірного перетворення Фур'є плоскої синусоїди який складається з однієї точки

На рис. нижче показано зображення просторових синусоїд різної частоти та відповідні Фур'є-образи які в частотній області

Приклад перетворення Фур'є

складаються із двох ізольованих точок.

Двовимірне дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) і його обернене мають вигляд $$\begin{gather*} F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x,y) e^{-i2\pi(ux/M+vy/N)},\\ f(x,y)=\frac{1}{MN} \sum_{u=0}^{M-1} \sum_{v=0}^{N-1} F(u,v) e^{i2\pi(ux/M+vy/N)}, \end{gather*}$$ де $f(x,y)$ -- $M \times N$-зображення.

Оскільки ДПФ зображення є комплексним, його результат може бути виражено в комплексній формі $$F(u,v)=|F(u,v)|e^{i\phi(u,v)}$$ де амплітуда $$|F(u,v)|=\sqrt{Re(F(u,b))^2+Im(F(u,b))^2},$$ називається Фур'є-спектром (або частотним спектром), а $\phi(u,v)$ називається фазовим кутом або просто фазою.

Алгоритм швидкого дискретного перетворення Фур'є зображення розміру $M \times N$ має складність $O(M N \ln (MN)).$